Und dann ziehen wir ja davon ab, den Funktionswert an der Stelle 0 selbst ist, aber auch 0.

Also, wir sehen hier im Zähler zwei Nullen, die wir voneinander abziehen und das gibt

immer 0.

Also hier ist die partielle Ableitung nach x1 im 0.0 und die partielle Ableitung nach

d2.

x2 ist ganz entsprechend auch 0, denn wenn wir x1 0 setzen, kommt auch 0 raus, weil in

Zähler dieses Produkt x1 mal n2 x2 unter der Wurzel auftaucht.

Also haben wir im Nullpunkt hier beide partiellen Ableitungen, die nach x1 und nach x2.

Also ist die Funktion f im Nullpunkt partiell differenzierbar, weil die partiellen Ableitungen

dort existieren.

Und jetzt betrachten wir mal die Stetigkeit im Nullpunkt.

Also wir haben schon gesehen, wenn x1 0 ist, wenn nur eine Komponente verschwindet, dann

wird der Funktionswert auch 0 und genauso wenn x2 0 ist.

Also im Nr hoch 2 haben Sie ja die zwei Achsen x1 und x2.

Und wenn Sie auf diesen Achsen hier zum Nullpunkt laufen, dann ist der Funktionswert 0.

Also hier gilt überall f gleich 0.

Und wir können aber genauso gut so diagonal gegen die Null laufen.

Also diese Punkte haben die Form Tt.

Und was ist da der Funktionswert für T ungleich 0?

Also für T ungleich 0 gilt f an der Stelle Tt.

Das ist die Wurzel aus Betrag von T zum Quadrat durch Wurzel aus T² plus T².

Und das kann man gut ausrechnen.

Da kann man ja die Wurzel aus T² wegkürzen und dann bleibt noch eine 1 übrig und hier

eine Wurzel aus 2.

Hier können Sie ja T² plus T² addieren.

Dann haben Sie 2T², das steht unter der Wurzel und da kommt dann die Wurzel 2 raus.

Und wichtig ist, das ist nicht 0.

Wenn man also den Grenzwert betrachtet, also lims für T gegen 0 f von Tt, dann ist der

gleich 1 durch Wurzel 2 und das ist ungleich 0, also insbesondere ungleich f von 0.

Und deshalb ist die Funktion im Nullpunkt unstetig.

Also wenn Sie über diese Diagonalen laufen, dann kommen Sie nicht gegen die Null.

Und wenn die Funktion nicht stetig ist, kann sie ja auch nicht differenzierbar sein, denn

wenn sie differenzierbar wäre, dann wäre sie auch stetig.

Also haben wir gezeigt, dass die Funktion im Nullpunkt weder stetig noch differenzierbar

ist.

Also ist unsere Funktion f im Nullpunkt nicht stetig.

Und somit in diesem Nullpunkt auch nicht differenzierbar.

Also das zeigt, wenn die partiellen Ableitungen existieren, dann wissen wir noch nicht, ob

die Funktion differenzierbar ist.

Und ja, von dieser Art kann man viele Beispiele betrachten.

Im Skript ist das Beispiel ähnlich, aber auch ein bisschen anders.

Also da finden Sie in der Literatur noch viele weitere Beispiele.

Können Sie sich ja mal anschauen.

Wir wollen jetzt mal zu dem positiven Resultat gehen.

Also um von der partiellen Differenzierbarkeit zurückzukommen auf die Differenzierbarkeit,

brauchen wir noch stärkere Voraussetzungen.

Und da reicht aus, wenn die partiellen Ableitungen stetig sind.

Also es gilt.

Folgender Satz.

Es sei also A, Teilmenge R hoch M offen.